МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (зимняя сессия 2013 - 2014)

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ В БИЛЕТАХ

1.    Числовые ряды. Определения. Остаток ряда.  Необходимое условие сходимости (док-во)
2.    Обобщенный  гармонический ряд. Вывод условий сходимости 
3.    Интегральный признак Коши. Признак Даламбера ( любая из теорем док-во)
4.    Признак Коши сходимости числового ряда.  
      Признаки сравнения (1ый и 2ой)  сходимости числового ряда  (док-во на выбор).
5.    Знакочередующиеся числовые ряды. Определение, оценка остатка ряда. Теорема Лейбница.
6.    Абсолютная и условная сходимость знакочередующихся рядов. 
      Теоремы Римана, Дирихле, Абеля ( док-во на выбор).
7.    Функциональные ряды общего вида. Сходимость и равномерная сходимость. 
      Признак Даламбера и Коши (док-во на выбор).
8.    Степенные ряды и их сходимость. Теорема Абеля, 
      признаки Даламбера и Коши (док-во на выбор).
9.    Теоремы дифференцирования и интегрирования степенных рядов. 
      Степенной ряд и ряд Тейлора. 
10.   Тригонометрические  ряды Фурье в действительной форме
11.   Комплексная форма ряда Фурье (три ряда). Спектральные характеристики.
12.   Комплексная и действительная формы интеграла  Фурье. 
      Амплитудная и частотная характеристики. 
13.   Интегральное преобразование Фурье и его свойства. Свертка по Фурье
14.   Постановка задач для ОДУ, Теорема Коши, условие Липшица
15.   Линейное оду 1-го порядка. метод Лагранжа, уравнение Бернулли.
16.   Постановка задач для ОДУ., неразрешенного относительно производной . 
      Теорема Коши, условие Липшица
17.   Метод Лагранжа для линейного неоднородного уравнения 2-го порядка.
18.   Построение ФСР  для систем однородных линейных ОДУ.
19.   Метод коши для системы линейных неоднородных ОДУ
20.   Моделирование свободных (не вынужденных) колебаний
21.   Моделирование явления резонанса вынужденных колебаний
22.   Интегральное преобразование Лапласса (прямое, обратное, св-ва оригинала)
23.   Свертка по Лапласу и ее применение к решению интегральных уравнений Вольтерра
24.   Основные свойства прямого преобразования Лапласа
25.   Схема  решения линейного ОДУ  операционным методом ( пример)
26.   "дельта" функция Дирака
27    Классификация линейных ДУ в частных производных 2-го порядка (линейные УЧП) и
      постановка задач для них
28.   Решение ОДУ методом разложения в степенной ряд.
29.   Решение задачи колебания струны (гиперболическое УЧП) методом операционного исчисления 
      (интегральное преобразование Лапласа).
30.   Решение задачи нагрева стержня (параболическое УЧП) методом интегрального 
      преобразования  Фурье. 

[ Литература ]

• 1. Кудрявцев Л.Д. Курс Математического анализа (любой год издания)
• 2. Фихтенгольц Курс Математического анализа
• 3. Ильин Курс Математического анализа
• 4. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика (любой год издания)
• Борзенков А.В. Обыкновенные дифференциальные уравненя. MatLab. 2010
• Борзенков А.В. Дифференциальные уравненя в частных прозводных. MatLab. 2008, 2010